Adamson wuchs in Manchester auf und begann schon in jungen Jahren sich für Musik zu begeistern. Seinen ersten Song Brain Pain schrieb er im Alter von 10 Jahren. Nach der Schule versuchte er sich zunächst als Grafikdesigner, schlitterte jedoch in die beginnende Punkszene. Mit dem ex-Buzzcocks-Sänger Howard Devoto gründete er Magazine. Er spielte dort E-Bass und blieb bis zuletzt Mitglied der Band. Außerdem beteiligte er sich an Devotos Soloalbum und an der Nachfolgeband Luxuria. Neben Magazine spielte er auch die ersten beiden Alben von Visage ein.

Nach dem Ende von Magazine beteiligte sich Adamson an dem dritten Soloalbum von Pete Shelley. Anschließend stieg er zunächst von 1982 bis 1983 bei The Birthday Party ein. Mit ihnen veröffentlichte er das selbstbetitelte Debütalbum und die Alben Prayers on Fire undJunkyard. Nach der Auflösung schloss sich Adamson dem Nachfolgeprojekt Nick Cave & The Bad Seeds an. Dort spielte er auf vier Alben mit.

1987 begann seine Solokarriere. Auf Mute Records veröffentlichte er seine erste EP The Man with the Golden Arm. Danach folgte Moss Side Story. Das Album enthielt den fiktiven Soundtrack zu einem Thriller. Er veröffentlichte bis dato acht Soloalben und wirkte an sieben Soundtracks mit, u.a. für David Lynchs Lost Highway und Oliver Stones Natural Born Killers. Sein letzter Soundtrack war für den Film The Beach. Des weiteren spielte er auf den Alben mehrer Künstler mit, zum Beispiel bei Lydia Lunch und Anita Lane. Adamson fertigte mehrere Remixe für Künstler wie Depeche Mode, The Jon Spencer Blues Explosion und Einstürzende Neubauten an.