Tveitt, der ursprünglich Nils mit Vornamen hieß und sich selbst später in Geirr umbenannte, kam schon in seiner Kindheit mit Musik, insbesondere der Volksmusik der norwegischen Bauern, in Berührung. Allerdings hatte der Vater für ihn den Beruf des Architekten vorgesehen, doch Tveitt, der schon in seiner Jugendzeit Klavier- und Violinunterricht erhalten hatte, begann im Jahre 1928 ein Musikstudium am Leipziger Konservatorium (u.a. bei Hermann Grabner). 1932 verließ er Leipzig und hielt sich bis 1935 in Wien, wo er bei Egon Wellesz studierte, und in Paris, wo Arthur Honegger und Heitor Villa-Lobos seine Lehrer waren, auf. Danach lebte er wieder in Norwegen und wählte ein altes Landhaus am Hardangerfjord zu seinem Hauptwohnsitz. Ab 1960 war er beim Norwegischen Rundfunk tätig. Daneben wirkte er als Konzertpianist und Dirigent und unternahm Konzertreisen u.a. durch Frankreich und Nordafrika. Neben seiner Musikertätigkeit interessierte sich Tveitt für verschiedenste Sprachen und malte. Am 12. Juli 1970 kam es jedoch zu der großen Tragödie seines Lebens: sein Landhaus brannte bis auf die Grundmauern nieder, und etwa 80% seiner zumeist ungedruckten Werke (d.h. 300 Kompositionen!) wurden Opfer der Flammen. Danach erreichte Tveitt nie wieder seine frühere Produktivität und konnte sich bis zu seinem Tod von diesem schweren Schlag nicht mehr erholen.

Tveitt orientierte sich in erster Linie an der norwegischen Folklore und war auch Sammler von über 1000 Volksliedern. Daher sind Melodik und Rhythmik seiner Werke eindeutig norwegisch geprägt. Seiner Musik liegen nahezu ausschließlich die alten Kirchentonarten zu Grunde, namentlich der für die Musik Norwegens besonders charakteristische lydische Modus mit erhöhter Quarte. Tveitt meinte sogar alle Kirchentonarten auf alte skandinavische Tonleitern zurückführen zu können, was er in seiner 1937 in Oslo veröffentlichten Studie "Tonalitätstheorie des parallelen Leittonsystems" publik machte. Auch die Harmonik seiner Werke weist "nordische" Züge auf (etwa durch Elemente wie Quint- und Quartparallelen), doch hier wird auch der Einfluss des (französischen) Impressionismus deutlich, welcher sich auch in der Orchestration bemerkbar macht. Ein weiterer Bezugspunkt sind die russischen Komponisten, v.a. Sergei Rachmaninow, deren Bedeutung sich besonders im Klaviersatz niederschlägt. Insgesamt betrachtet ist Tveitt ein relativ konservativer Komponist, der für die großen Neuerungen des 20. Jahrhunderts kein Verständnis aufbrachte. Dissonanzen setzt er vor allem ein, um bestimmte Farben und Stimmungen zu erzeugen. Daher verwundert es nicht, dass sein viertes Klavierkonzert, das das Nordlicht musikalisch illustriert, zu seinen modernsten Werken gehört, während das fünfte Klavierkonzert, das kein Programm besitzt, viel konservativer ist. Seine Werke überzeugen jedoch durch ihre natürliche Frische und Vitalität, Urwüchsigkeit und Klangfarbenreichtum. Problematisch ist teilweise die Quellenlage bei seinen Werken, da einige Kompositionen, die im Feuer verloren gegangen sind, auf Basis von Rundfunkaufnahmen rekonstruiert werden müssen, was dadurch umso schwerer wird, dass Tveitt seine Werke ständig überarbeitete und daher häufig mehrere Versionen überliefert sind. Tveitt war in seiner Heimat lange Zeit wegen seiner konservativen Musiksprache verpönt. Erst seit Mitte der 1990er Jahre werden vermehrt Anstrengungen unternommen, seine Musik der Vergessenheit zu entreißen, was sich in erster Linie in der steigenden Anzahl von CD-Produktionen niederschlägt. Heute wird Tveitt zu den bedeutendsten norwegischen Komponisten gezählt.