Torriani wurde als Sohn eines Reit- und Skilehrers geboren und wuchs in St. Moritz auf. Nach der Schule lernte er Konditor, Koch und später noch Kellner. Bereits als 15-Jähriger gab er private Konzerte. Später betätigte er sich als selbständiger Gastwirt, unter anderem in Basel, und machte sich als Autor von Kochbüchern einen Namen.

1945 siegte er bei einem Talentwettbewerb und tingelte danach durch ganz Europa. 1949 hatte er in der Schweiz seinen ersten Hit Silberfäden. 1951 kam der erste grosse Erfolg in Deutschland mit Addio, donna grazia. Danach nahm Torriani zahlreiche Schallplatten mit Schlagern in verschiedenen Sprachen auf. Ab 1952 trat er im Fernsehen auf. Er bekam zunächst in der Schweiz, später auch in Deutschland eigene Shows, wie etwa „Grüezi, Vico“, „Hotel Victoria“ und die „Vico-Torriani-Show“, in denen zahlreiche Gaststars auftraten.

In den 1950er Jahren war er als Schauspieler in zahlreichen Musikfilmen zu sehen und trat auch auf der Theaterbühne auf. In zahlreichen Operetten- und Musical-Inszenierungen konnte man ihn in den 1950er- und 1960er-Jahren sehen. 1955 war Torriani der allererste zu ratende Gaststar in der Ratesendung Was bin ich? bei Robert Lembke.

Torriani gab Gastspiele in vielen Ländern, darunter auch im Iran. 1964 war seine Plattenkarriere zunächst vorbei. 1966 sang er noch das Lied der ARD-Fernsehlotterie So schön, so leicht, kann unser Leben sein. Dann war er zwischen 1967 und 1970 Showmaster über viele Folgen hinweg in der Fernsehsendung Der goldene Schuss im deutschen Sender ZDF.

In den 1970er-Jahren hatte er dann wieder grosse Erfolge mit volkstümlichen Melodien. Sein grösster Erfolg wurde 1976 La Pastorella, das inzwischen zu den Evergreens der deutschen Unterhaltungsmusik gehört. Das Lied wurde von zahlreichen anderen Interpreten aufgenommen. 1977 war Torriani sogar einmal in der Krimiserie Tatort zu sehen, in der Folge Drei Schlingen mit Hansjörg Felmy als Kommissar Haferkamp. Mit dem Lied „Caprifischer“ landete er 1982 auf Platz eins der vom Zweiten Deutschen Fernsehen produzierten Musikshow „Die schönsten Melodien der Welt“.

1995 erhielt er den Bambi „Lifetime-Award“ zusammen mit Caterina Valente und Helmut Zacharias. Bis zu seinem Tod lebte er in seinem Haus in Agno in der Schweiz und war immer wieder Gast in zahlreichen Musiksendungen im Fernsehen und besang immer wieder Schallplatten. Torriani starb im Jahr 1998 an Krebs.

Torrianis Frau Evelyne stammte aus Basel. Er hatte eine Tochter Nicole und einen Sohn Reto. Seine Grabstelle ist auf dem Hauptfriedhof in Lugano.