Sein Vater war der Instrumentenbauer Wilhelm Busch.

Er studierte in Köln bei Professor Bram Eldering und Professor Fritz Steinbach Musik. 1912 wurde er Konzertmeister in Wien und erhielt 1918 eine Professor an der Musikhochschule in Berlin, wo er unter anderem auch Lehrmeister von Yehudi Menuhin war. Dort gründete er das weltberühmte Busch-Quartett. Duo-Partner war unter anderem Rudolf Serkin. In den Jahren 1926 bis 1939 arbeitete er in Basel, wo er sein eigenes Kammerorchester gründete. 1939 emigrierte er in die USA, wo er 1952 starb.

Adolf Busch war der Bruder des Dirigenten Fritz Busch, des Cellisten Hermann Busch, des Schauspielers Willi Busch sowie des Musikers Heinrich Busch.

Obwohl vorrangig als Interpret berühmt, war Busch auch ein produktiver Komponist spätromantischer Prägung, der stilistisch Johannes Brahms, Max Reger und Othmar Schoeck nahestand. Den Kern seines Schaffens bilden Kammermusikwerke, dazu treten Orchesterwerke, Chorsinfonik, Klavier- und Orgelstücke sowie Lieder.

Siehe auch: Liste deutscher Komponisten klassischer Musik