Genzmer studierte ab 1928 Komposition an der Berliner Hochschule für Musik bei Paul Hindemith, der ihn maßgeblich prägte.

Von 1934 bis 1937 arbeitete er an der Oper in Breslau, ab 1938 an der Volksmusikschule in Berlin-Neukölln. Seinen Militärdienst leistete er als Klarinettist. Im Jahr 1946 ging er als Lehrer für Komposition an die neu gegründete Musikhochschule in Freiburg im Breisgau. Von 1957 bis 1974 lehrte er Komposition als Professor an der Hochschule für Musik in München.

Bei den Olympischen Sommerspielen 1936 in Berlin erhielt er eine olympische Bronzemedaille in der Kategorie „Solo- und Chorgesang“ für sein Werk „Der Läufer“. Unter seinen zahlreichen Auszeichnungen ist besonders der Maximiliansorden erwähnenswert, der ihm 1991 verliehen wurde.

Genzmer schrieb Orchester-, Kammermusik- und Chorwerke. Dabei zeigt er mit ausgefallenen Besetzungen Experimentierfreudigkeit, etwa mit Werken für Saxofon oder Trautonium.